Wiki. Azumaya 范畴 [Azumaya范畴]

Azumaya 范畴是 Azumaya 代数在充实范畴中的推广.

定义

参考 Borceux–Vitale.

设 $\mathcal V$ 为余完备闭对称幺半范畴. 记 $\mathcal I$ 为单对象且以始对象为态射对象的 $\mathcal V$-充实范畴.

对于 $\mathcal V$-充实范畴 $A$, 如下条件等价:

1. 存在 $\mathcal V$-充实范畴 $\mathcal B$, 使得 $A\otimes\mathcal B$ Morita 等价于 $\mathcal I$.
2. $\mathcal A\otimes\mathcal A^{\mathrm{op}}$ Morita 等价于 $\mathcal I$.
3. $\mathcal A$ 为中心可分 $\mathcal V$-充实范畴, 且典范函子 $\mathcal A\otimes\mathcal A^{\mathrm{op}} \to\mathcal V$ 为 $\mathcal A\otimes\mathcal A^{\mathrm{op}}$-模中的强生成元.
4. 典范函子 $\mathcal A\otimes\mathcal A^{\mathrm{op}} \to\mathcal V$ 全忠实, 且作为 $(\mathcal A\otimes\mathcal A^{\mathrm{op}},\mathcal I)$-双模, 为小投射强生成元.

注. Azumaya 代数是上述概念 $\mathcal V = \mathsf{Mod}(R)$ 的特殊情形.

充实范畴上的模页面解释了上述定义中涉及的概念. 这些概念都是环上的模与代数的类似概念的推广.