Wiki. “除子” [除子]

除子是 “余一维子流形” 概念的推广, 也是交换环中 “因子” 概念的推广.

直观

交换代数

整环 $A$ 的除子理论涉及构造某个半群的态射 $\varphi\colon A^* \to D_0$, 其中 $D_0$ 是唯一分解半群. 此时 $A$ 中的素因子分解问题 (分解可能不唯一) 即可化为 $D_0$ 中的素因子分解问题. 对于 $a\in A^*$, 其像 $\varphi(a)\in D_0$ 称为主除子, 记作 $(a)$. 对于除子 $\mathfrak{a}\in D_0$, 若 $\mathfrak{a}$ 在 $D_0$ 中整除 $(a)$, 则称除子 $\mathfrak{a}$ 整除 $a$.

一般的 Dedekind 整环里都有除子理论. “Dedekind 整环就是模仿代数曲线构造的.” ¹

复几何

复流形 $M$ 上的非奇异除子 (nonsingular divisor) $D$ 是余一维的复子流形, 其对应的线丛 $[D]$ 定义如下. 取开覆盖 $\{U_\lambda\}$ 与 $U_\lambda$ 上的全纯函数 $f_\lambda$, 使得 $f_\lambda$ 在 $U_\lambda$ 上沿 $D$ 一阶消失, $U_\lambda \cap D = \{f_\lambda =0\}$. 定义 $[D]$ 是 $f_{\lambda \mu}=\dfrac{f_\lambda }{f_\mu}$ 为转移函数的全纯线丛.

Weil 除子与 Cartier 除子

拓扑上, Weil 除子像是同调类 (余 $1$ 维的圈), 而 Cartier 除子像是上同调类.

Weil 除子

设 $X$ 为 (光滑不可约) 代数簇. $X$ 上的 Weil 除子是余 $1$ 维子簇的 $\mathbb{Z}$-线性组合. Weil 除子的群正是 $(n-1)$-圈 $Z_{n-1}(X)$.

有效 (effective) 除子是指系数全为正的 Weil 除子.

余 $1$ 维子簇局部上是一个函数的零点. 因此反过来, 由一个有理函数 (一般地, 线丛的有理截面) 也可定义一个 Weil 除子 (称为主除子) $$ \operatorname{div}g = (g) := \sum_{V} \operatorname{ord}_V(g)\cdot V. $$ 相差一个主除子的关系称为线性等价 (linear equivalence, 或有理等价). Weil 除子模掉这个等价关系就得到 Weil 类群 (Weil class group) $\operatorname{WCl}(X)$.

对于线丛 $L$ 的有理截面 $s$ 和 $M$ 的有理截面 $t$, 其张量积 $s\otimes t$ 是 $L\otimes M$ 的有理截面, 对应的除子 $\operatorname{div} (s\otimes t) = \operatorname{div}s+\operatorname{div}t$.

Cartier 除子

Cartier 除子体现了一种 “将定理变成定义” 的思想. 我们定义 Cartier 除子 “就是线丛的有理截面” ; 但要做出一些限制 (截面不能为零截面), 并规定哪些截面给出相同的除子.

定义. (“古典” 定义) 复流形 (或代数簇) $X$ 上的 Cartier 除子是如下的资料: 一个开覆盖 $\{U_\alpha\}$, 每个 $U_\alpha$ 上的亚纯函数 (有理函数) $f_\alpha$, 满足在 $U_\alpha\cap U_\beta$ 上 $f_\alpha$ 与 $f_\beta$ 之比没有零点与极点.

定义. $X$ 上的 Cartier 除子是 $\mathcal D_X$ 的全局截面. 两个 Cartier 除子有理等价 (rationally equivalent) 是指 $\sigma / \tau \in \Gamma(X,\mathcal Mer(X)^*)$. 其中, $\mathcal Mer(X)^*$ 是 $\mathcal Mer(X)$ 的可逆元.

除子与线丛

除子和线丛有关. 对于 Riemann 面 $M$ 上恒不为零的全纯函数层 $\mathcal{O}^*$ 与恒不为零的亚纯函数层 $\mathcal{M}^*$ 有短正合列 $$ 0\to \mathcal{O}^* \to \mathcal{M}^* \to \mathcal{M}^*/\mathcal{O}^* \to 0, $$ 其诱导的长正合列为 $$ \underbrace{H^0(M,\mathcal{M}^*)\overset{h}{\to} H^0(M,\mathcal{M}^*/\mathcal{O}^*)}_{\text{除子}} \overset{\delta}{\to} \underbrace{H^1(M,\mathcal{O}^*)}_{\text{线丛}} \to\cdots, $$ 映射 $\delta$ 表明如何由除子过渡到线丛, 而映射 $h$ 定义了除子的线性等价关系 (相差一个 $h$ 的像就称为线性等价).

设 $D$ 为除子, 其对应的线丛由如下转移函数给出: $$ f_{ij}=f_i/f_j\colon U_{ij}\to \mathbb{C}^\times. $$ 除子的和对应线丛的张量积.

为什么只做除子, 不做更高余维数的子簇? 搞清楚推广遇到什么困难, 才有研究好做. — Yau 2023年3月2日于院长讨论班

定义. 称除子 $D$ 光滑 (nonsingular), 是指存在某种表示 $(U_i,f_i)$, 使得 $f_i\equiv 1$ 或 $f_i$ 可扩展为局部坐标系. (换言之, 当 $f_i=0$ 时 $f_i'\neq 0$.)

法丛

除子 (余一维子流形) 对应的线丛在其自身上的限制同构于法丛.

除子与子概形

若 $D$ 是 $X$ 的子概形对应的除子, 则有短正合列 $$ 0\to \mathcal O(-D) \to \mathcal O_X \to \mathcal O_D\to 0. $$ 其中 $\mathcal O(-D)$ 同构于 $D$ 对应的理想层.

可逆层

设 $X$ 为 $K$ 上的光滑代数簇, $X$ 上的可逆层是指秩为 $1$ 的局部自由 $\mathcal{O}_X$-模. 详见该页面.

例

复射影空间 $\mathbb P^n(\mathbb{C})$ 上的超平面 $H=\{z^0=0\}$ 可视为除子, 它对应的线丛记为 $\mathcal O(1)$, 称为超平面丛 (hyperplane bundle). 对任意整数 $k$, 除子 $kH$ 对应线丛 $\mathcal O(k)$.

$\mathbb P^n(\mathbb{C})$ 上的重言丛 (tautological line bundle) 同构于 $\mathcal O(-1)$.

相关概念

主除子