Wiki. “投射模” [投射模]

固定一个含幺环 $R$ (不一定交换).

定义

投射模是模范畴的投射对象.

模 $P$ 是投射模当且仅当任意短正合列 $$ 0 \to A \to B \to P \to 0 $$ 都分裂, 这也等价于 $P$ 是某个自由模的直和项.

模 $P$ 是投射模当且仅当函子 $\operatorname{Hom}(P,-)\colon R\mathsf {-Mod} \to \mathsf {Ab}$ 正合. 对于一般的 $P$ 它一定左正合, 但不一定右正合.

自由 $\Rightarrow$ 投射 $\Rightarrow$ 平坦 $\Rightarrow$ 无挠