Wiki. 可分代数 [可分代数]

定义

含幺交换环 $R$ 上的可分代数是满足如下等价条件的 $R$-代数 $A$:

• $A$ 作为 $A\otimes_R A^{\mathrm{op}}$-模是投射模 (注意此时它一定是有限生成的);
• 乘法映射 $A\otimes_R A^{\mathrm{op}} \to A$ (作为 $A\otimes_R A^{\mathrm{op}}$-模同态) 存在截面.

注意不要求 $A$ 是交换代数.

性质

与可分域扩张的关系

可分代数是可分域扩张的推广.

命题. 设 $k\hookrightarrow K$ 是域扩张, 则它是可分扩张当且仅当 $K$ 是可分 $k$-代数.

证明概要. 假设 $k\hookrightarrow K$ 是可分扩张. 那么存在 $K$ 的一组 $k$-基 $\{e_1,\cdots,e_n\}$ 以及对偶基 $\{f_1,\cdots,f_n\}$ 满足 $\operatorname{Tr}_{E/F}(e_if_j) = \delta_{ij}$, 且 $\sum_{i=1}^n e_i f_i = 1$. 令 $$ x = \sum_{i=1}^n e_i \otimes f_i \in K\otimes_k K. $$ 乘法映射 $\mu\colon K\otimes_k K\to K$ 将 $x$ 映射到 $1$. 截面 $K \to K\otimes_k K$ 可由 $a\mapsto ax$ 给出.

另一方面, 假设 $K$ 是可分 $k$-代数. 若 $k\hookrightarrow K$ 不是可分扩张, 即存在 $a\in K$, 其在 $k$ 上的极小多项式有重根, 则 $K\otimes_k K$ 有幂零元.