Wiki. 可分扩张 [可分扩张]

定义

对于域扩张 $F\hookrightarrow E$, 称 $\alpha\in E$ 可分是指其极小多项式 $f_\alpha$ 满足 $\operatorname{gcd}(f_\alpha,f_\alpha ') = 1$, 这也等价于 $f_\alpha$ 在 $F$ 的某个代数闭包上无重根.

若 $E$ 的所有元素都可分, 则称域扩张 $F\hookrightarrow E$ 为可分扩张.

注意这个定义要求可分扩张是代数扩张.

极大的可分扩张称为可分闭包.

性质

有限可分扩张对应的仿射概形的态射是平展概形态射.

迹配对非退化

命题. 域扩张 $F\hookrightarrow E$ 可分当且仅当迹映射给出一个非退化双线性型 $$ E\times E \to F, (x, y)\mapsto \operatorname{Tr}_{E/F}(xy). $$

见 Stacks Project 0BIE.

例

不可分扩张的例子

$\mathbb{F}_p(x^p) \hookrightarrow \mathbb{F}_p(x)$ 不可分, 因为 $x$ 的极小多项式 $X^p-x^p = (X-x)^p$ 有重根. 这是纯不可分扩张的例子.