Wiki. 纯不可分扩张 [纯不可分扩张]

设 $F$ 为特征 $p$ 域. 对于域扩张 $F \hookrightarrow E$, 称 $\alpha\in E$ 纯不可分是指存在 $p$ 的幂 $q$ 使得 $\alpha^q \in F$. 若 $E$ 的所有元素均纯不可分, 则称之为纯不可分扩张.

性质

每个有限的纯不可分扩张 $F\hookrightarrow E$ 都可以写成 $$ F \subset F(\alpha_1) \subset\cdots\subset F(\alpha_1,\cdots,\alpha_n) = E, $$ 每次加入一个 $p$ 次方根.

每个代数扩张 $F\hookrightarrow E$ 都能唯一地写成 $F \hookrightarrow E_{\text{sep}} \hookrightarrow E$, 使得 $F \hookrightarrow E_{\text{sep}}$ 为可分扩张, 而 $E_{\text{sep}} \hookrightarrow E$ 为纯不可分扩张.