Wiki. “凝聚态集合” [凝聚态集合]

#凝聚态数学

定义

凝聚态集合是 pro-有限集范畴 $\mathsf{ProFin}$ 上的层, 即函子 $X\colon\mathsf{ProFin}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}$, 满足

• $X(\varnothing)\simeq \{*\}$;
• $X(S_1\sqcup S_2)\simeq X(S_1)\times X(S_2)$;
• 设 $f\colon S'\to S$ 为满射, 则 $\mathrm{im}X(f)=\{x\in X(S')\mid X(p_1)(x)=X(p_2)(x)\}$.

为了集合论上的严谨性需要定义 $$ \mathsf{Cond}(\mathsf{Set}) := \operatorname{colim}_\kappa \mathsf{Cond}_\kappa (\mathsf{Set}). $$

凝聚态集合 $T$ 的底层集合是 $|T|:=T(*)$.

凝聚态集合 $T$ 的底层拓扑空间是 $|T|$ 上满足如下条件的最细拓扑: 对所有 pro-有限集 $S$ 到 $T$ 的映射, $|S|\to |T|$ 都连续.

性质

T1 拓扑空间可视为凝聚态集合. 其中, 可度量化拓扑空间范畴到凝聚态集合范畴有全忠实的嵌入.