Wiki. 凝聚态集合 [凝聚态集合]

定义

凝聚态集合是 pro-有限集范畴 $\mathsf{ProFin}$ 上的层, 即函子 $X\colon\mathsf{ProFin}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}$, 满足

• $X(\varnothing)\simeq \{*\}$;
• $X(S_1\sqcup S_2)\simeq X(S_1)\times X(S_2)$;
• 设 $f\colon S'\to S$ 为满射, 则 $\mathrm{im}X(f)=\{x\in X(S')\mid X(p_1)(x)=X(p_2)(x)\}$.

等价的定义是极不连通空间范畴 $\mathsf{ExDisc}$ 上的层, 即函子 $X \colon \mathsf{ExDisc}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}$, 满足

• $X(S_1 \sqcup S_2) \simeq X(S_1) \times X(S_2)$.

集合论问题

为了集合论上的严谨性需要定义 $$ \mathsf{Cond}(\mathsf{Set}) := \operatorname{colim}_\kappa \mathsf{Cond}_\kappa (\mathsf{Set}). $$

底层集合与底层拓扑空间

凝聚态集合 $T$ 的底层集合 (underlying set) 是 $|T|:=T(*)$.

凝聚态集合 $T$ 的底层拓扑空间是 $|T|$ 带上满足如下条件的最细拓扑: 对所有 pro-有限集 $S$ 到 $T$ 的映射, $|S|\to |T|$ 都连续.

性质

极限与余极限

与拓扑空间的关系

T1 拓扑空间可视为凝聚态集合. 其中, 可度量化拓扑空间范畴到凝聚态集合范畴有全忠实的嵌入.

与 Abel 范畴的关系

凝聚态集合范畴中的 Abel 群 (即凝聚态 Abel 群) 构成 Abel 范畴.