Wiki. “超覆盖” [超覆盖]

超覆盖是覆盖的推广.

定义

∞-意象中的超覆盖

设 $\mathcal X$ 为 ∞-意象, $U_\bullet$ 为 $\mathcal X$ 的单纯对象. 若对所有 $n\geq 0$, $$ U_n \to ({\operatorname{cosk}_{n-1}U_\bullet})_n $$ 为有效满射 (见余骨架), 则称之为 $\mathcal X$ 的超覆盖 (hypercover). 进一步, 若 $\operatorname{colim}U_\bullet =1$, 则称之为有效超覆盖.

例如, 对于超覆盖 $U_\bullet$, 有

• $U_0 \to 1$ 为有效满射,
• $U_1\to U_0\times U_0$ 为有效满射.

性质

引理. 对于 ∞-意象中的 $\infty$-连通对象 $U$ (在超完备 ∞-意象中就是终对象 $1$), 常值单纯对象 $U_\bullet$ 是超覆盖.

引理. ∞-意象中的 $n$-余骨架超覆盖是有效的.

引理. ∞-意象中的超覆盖的几何实现 (即余极限) 是 $\infty$-连通的.

定理. 对于 ∞-意象 $\mathcal X$, 如下条件等价,

• 对任意 $X\in\mathcal X$, $\mathcal X_{/X}$ 的超覆盖 $U_\bullet$ 都是有效超覆盖;
• $\mathcal X$ 是超完备 ∞-意象.