紧投射生成元 (compact projective generator) 大致是指范畴中的紧, 投射的生成元, 根据不同的范畴种类有稍微不同的概念.
定义
模范畴 (Abel 范畴)
在 (非交换) 环 $A$ 上的右模范畴 $\mathsf{RMod}(A)$ 中,
- 对象 $M$ 为生成元, 即 $\operatorname{Hom}(M,-)$ 忠实, 当且仅当 $A$ 为某个有限直和 $M^n$ 的直和项;
- 对象 $M$ 为有限生成投射对象, 即 $\operatorname{Hom}(M,-)$ 保持滤余极限且保持满射 (余等化子), 当且仅当 $M$ 为某个有限生成自由模 $A^n$ 的直和项.