Wiki. 可表现对象 [可表现对象]

观念

给定正则基数 $\kappa$, 范畴中的对象的 $\kappa$-可表现性是 “紧性” 或 “小性” 的一种体现.

设想我们要用纯范畴论性质来刻画有限集. 集合 $X$ 是有限集当且仅当如下条件成立:

• 对 $X$ 的任意一列子集 $X_0\subset X_1\subset\cdots$, 若 $X = \bigcup_i X_i$, 则存在 $i$ 使得 $X=X_i$.

这个性质等价于如下 (更 “纯范畴论” 的) 陈述:

• 对任意一列映射 $X_0\to X_1\to\cdots$, 以及映射 $X \to \operatorname{colim}X_i$, 存在 $i_0$ 使得 $X \to \operatorname{colim}X_i$ 穿过 $X_{i_0}\to \operatorname{colim}_i X_i$.

这又等价于

• 函子 $\operatorname{Hom}(X,-)\colon \mathsf{Set}\to\mathsf{Set}$ 保持滤余极限.

一般范畴中的有限表现对象可视为上述概念的推广.

定义

设范畴 $\mathcal C$ 具有滤余极限. 若对象 $X$ 满足 $\operatorname{Hom}(X,-)\colon \mathcal C\to\mathsf{Set}$ 保持滤余极限, 则称 $X$ 为有限表现对象, 又称紧对象.

一般地, 对于正则基数 $\kappa$, 若对象 $X$ 满足 $\operatorname{Hom}(X,-)\colon \mathcal C\to\mathsf{Set}$ 保持 $\kappa$-滤余极限, 则称 $X$ 为 $\kappa$-可表现对象.

例

对于拓扑空间 $X$ 的开集范畴 $\mathrm{Open}(X)$, $X$ 是紧对象当且仅当 $X$ 是紧拓扑空间. 注意: 拓扑空间范畴 $\mathsf{Top}$ 的紧对象不一定是紧拓扑空间.