Wiki. “Hopf 不变量” [Hopf不变量]

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定义

设 $n\geq 2$, $\phi \colon S^{2n-1} \to S^n$ 为连续映射. 考虑胞腔复形 $$ C = S^n \cup_\phi e^{2n}, $$ 其胞腔上同调仅 $0,n,2n$ 维非平凡. 记 $\alpha\in H^n(C;\mathbb{Z}), \beta\in H^{2n}(C;\mathbb{Z})$ 为生成元. 设 $\alpha \smile \alpha = h(\phi)\beta$. 称 $h(\phi)$ 为 $\phi$ 的 Hopf 不变量.

Whitehead 积分公式

给定光滑映射 $\phi\colon S^{2n-1} \to S^n$, 设 $\omega_n$ 为 $S^n$ 的体积形式, $d\omega_n = 0$, 那么存在 $S^{2n-1}$ 上的 $(n-1)$-形式 $\eta$ 使得 $d\eta = \phi^*\omega_n$. 此时 $\phi$ 的 Hopf 不变量等于 $$ \int_{S^{2n-1}} \eta \wedge d \eta. $$

注. 想象 $\eta$ “是” (选取代表元为) 支集在一个纤维上的 $1$ 形式, $d\eta$ “是” 支集在以另一纤维为边界的圆盘上的 $2$-形式, 那么 $\eta \wedge d\eta$ 的积分就是两个纤维的联结数.

性质

$h \colon \pi_{2n-1}(S^n) \to \mathbb{Z}$ 为群同态. 若 $n$ 为奇数, $h$ 是平凡映射 (因为 $\pi_{2n-1}(S^n)$ 是挠群); 若 $n$ 为偶数, 则 $h$ 的像包含 $2$, 因为 Whitehead 乘积 $[\operatorname{id},\operatorname{id}]$ 的 Hopf 不变量是 $2$.

$h(\phi)$ 等于 $\phi$ 的任意两个纤维在 $S^{2n-1}$ 中的联结数 (linking number).