Wiki. “Whitehead 乘积” [Whitehead乘积]

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定义

给定 $f \in \pi_k(X), g \in \pi_l(X)$, 其 Whitehead 乘积 $[f,g] \in \pi_{k+l-1}(X)$ 定义如下.

球的乘积 $S^k \times S^l$ 可视为一点并 $S^k \vee S^l$ 粘上一个 $(k+l)$-胞腔, 设其粘贴映射为 $\phi \colon S^{k+l-1} \to S^k \vee S^l$. 定义 $$ [f,g] \colon S^{k+l-1} \overset{\phi}{\to} S^k\vee S^l \overset{f\vee g}{\to} X. $$

特别地, $\pi_1(X)$ 可作用于每个 $\pi_k(X)$ 上.

性质

双线性性. 对 $g,h\in\pi_l(X)$, $[f,g+h] = [f,g]+[f,h]$.

分次交换性. $[f,g] = (-1)^{kl}[g,f]$.

分次 Jacobi 恒等式. $(-1)^{kl}[[f,g],h] + \cdots = 0$.

例

记 $\operatorname{id} \colon S^2 \to S^2$ 为恒等映射, $\eta \colon S^3 \to S^2$ 为 Hopf 纤维化, 则有 $[\operatorname{id},\operatorname{id}] = 2\eta$. 参见 Hopf 不变量.