Wiki. “联结数” [联结数]

定义

(参考 Bott–Tu)

设 $A,B$ 为 $S^3$ 中的圆圈 ($S^1$ 的嵌入像).

相交理论

取 $S^3$ 中的光滑圆盘 $D$ 使得 $A$ 为 $D$ 的边界, 且 $B$ 与 $D$ 横截相交. 定义 $A$ 与 $B$ 的联结数 $$ \operatorname{link}(A,B) = \sum_{D\cap B} \pm1, $$ 其中正负号由 $D$ 与 $B$ 相交处的定向决定.

微分形式

取 $A$, $B$ 的 Poincaré–Verdier 对偶 $\eta_A, \eta_B$, 设存在 $1$-形式 $\omega_A,\omega_B$ 使得 $d\omega_A = \eta_A$, $d\omega_B = \eta_B$. 那么 $A$ 与 $B$ 的联结数等于 $$ \int_{S^3} \omega_A \wedge \eta_B. $$

注. 若将 $\eta_A$ 视为支集在 $A$ 上的 “分布值微分形式” (current?), $\omega_A$ 视为圆盘 $D$ 上的分布值微分形式, 那么这个定义与上面相交理论的定义如出一辙. 因为两者的外积将是支集在 $D \cap B$ 上的 $3$ 形式, 也即 $D \cap B$ 的 Poincaré 对偶.

度数

任取一点 $p\in S^3 \setminus (A \cup B)$, 将 $S^3\setminus\{p\}$ 等同于 $\mathbb{R}^3$. 那么 $$ \operatorname{link}(A,B) = \deg\Big( L \colon A\times B \to S^2, (x,y) \mapsto \frac{x-y}{\|x-y\|}\Big). $$