Wiki. “赋值环” [赋值环]

#代数数论

定义

设 $K$ 为域. 若整环 $\mathscr O \subset K$ 满足 $\mathscr O\neq K$, 且对任意 $x\in K$ 都有 $x\in \mathscr O$ 或 $x^{-1}\in \mathscr O$, 则称 $\mathscr O$ 是 $K$ 中的赋值环 (valuation ring).

特别地, $K$ 是 $\mathscr O$ 的分式域.

一个整环若是其分式域中的赋值环, 则称其为赋值环.

赋值

设 $\mathscr O$ 是 $K$ 中的赋值环. 令 $V = K^\times / \mathscr O^\times$, 则 $\mathscr O$ 定义的赋值 (valuation) 映射是 $\nu\colon K^\times \to V$. 群 $V$ 称作 $\mathscr O$ 的赋值群. 一般的习惯是将 $V$ 中的运算写作加法, 特别地, 记 $[1]=0$. 有时我们还将赋值延拓到 $K$ 上, 定义 $\nu(0)=\infty$.

对 $[a],[b]\in V$, 若 $a^{-1}b \in\mathscr O$, 则记 $[a]\leq [b]$. 对任意 $v\in V$ 记 $v\leq\infty$. 容易验证 $$ \nu(a+b)\geq\min\{\nu(a),\nu(b)\}. $$

性质

命题. 若 $\mathscr O$ 为赋值环, 则 $\mathscr O$ 有唯一的极大理想 $P=\{x\in\mathscr O\mid\nu(x)>0\}$, 且当 $\nu(a)\neq\nu(b)$ 时, $\nu(a+b) = \min\{\nu(a),\nu(b)\}$.