Wiki. 特征向量 [特征向量]

设结合代数 $A$ 作用于另一对象 $V$. 定义一个特征值为一个代数同态 $\sigma\colon A \to 1$. 定义对应于特征值 $\sigma$ 的特征向量为元素 $v \colon 1\to V$, 满足 $$ a(v) = \sigma(a)v\,(a\in A), $$ 也即下图交换 (记 $\rho\colon A\otimes V\to V$ 为 $A$ 在 $V$ 上的作用): $$ \begin{array}{ccc} A & \overset{\sigma}{\to} & 1\\ \!\!\!\!v\downarrow&&\downarrow v\!\!\!\!\\ A\otimes V&\underset{\rho}{\to} & V \end{array} $$

在高阶范畴的语境中也有类似概念, 只不过是将上述条件推广为单纯对象的同态 $$ \begin{array}{cccccc} \cdots & A\otimes A \otimes 1 & \rightrightarrows & A\otimes 1 & \overset{\sigma}{\to} & 1\\ &\downarrow &&\!\!\!\!v\downarrow&&\downarrow v\!\!\!\!\\ \cdots & A\otimes A\otimes V & \rightrightarrows&A\otimes V&\underset{\rho}{\to} & V. \end{array} $$ 或者用更简洁的表述, 对于 $\sigma$ 给出的 $A$ 在 $1$ 上的作用而言, $v \colon 1 \to V$ 是 $A$-线性映射.

例

线性变换

对于 $k$-线性空间 $V$ 上的线性变换 $T$, 有 $A = k[x]$ 在 $V$ 上的作用, 其中 $x$ 的作用为 $T$. 此时 $A$ 在 $V$ 上的作用的特征向量就是传统上说的线性变换 $T$ 的特征向量.

Hecke 作用

在几何 Langlands 对应中, $A = \operatorname{Rep}(\check{G})$ 作用在 $V= D(D\text{-}\mathsf{Mod}(\mathrm{Bun}_G))$ 上, 特征向量称为 Hecke 特征层.