Wiki. “有理同伦论” [有理同伦论]
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有理同伦论是一个相对简便而粗糙的理论.
对连续映射 $f\colon X\to Y$, 若 $f_*\colon \pi_*(X)\otimes \mathbb Q \to \pi_*(Y)\otimes\mathbb{Q}$ 是同构, 则称 $X$ 与 $Y$ 在有理同伦论中等价. 这是比弱同伦等价更弱的条件.
定理 (有理版本的 Whitehead 定理) 设 $X$ 与 $Y$ 单连通, $f\colon X\to Y$ 为连续映射, 以下条件等价.
- $f_*\colon \pi_*(X)\otimes \mathbb Q \to \pi_*(Y)\otimes\mathbb{Q}$ 是同构;
- $f_*\colon H_*(X;\mathbb{Q})\to H_*(Y;\mathbb{Q})$ 是同构;
- $\Omega f_*\colon H_*(\Omega X;\mathbb{Q}) \to H_*(\Omega Y; \mathbb{Q})$ 是同构.
例. $\mathbb{R}P^2$ 与一个点在有理同伦论中是等价的.
命题. 设 $X$ 单连通, 则存在 (CW 复形?) $X_{\mathbb{Q}}$, 称为 $X$ 的有理化空间, 使得 $\pi_*(X_{\mathbb{Q}}) = \pi_*(X)\otimes\mathbb{Q}$, 且 $H_*(X_{\mathbb{Q}})=H_*(X)\otimes\mathbb{Q}$. $X_{\mathbb{Q}}$ 的同伦类型称为 $X$ 的有理同伦类型.
微分分次代数
粗略地说, 有理同伦类和微分分次代数的范畴是等价的.
一些微分分次代数可反映空间的信息, 例如微分形式的代数, de Rham 上同调等. 注意在上同调环中我们认为 $d=0$. 一般地, 取上同调给出了一个函子 $$ H^*\colon \mathsf{DGA} \to \mathsf{DGA}\text{ with trivial }d, $$ 若一个微分分次代数 $A$ 与它的上同调等价 (此处的等价是 “将拟同构视为同构”), 则称 $A$ 为形式 (formal) 的.
满足 ddc 引理的复流形是形式的: $$ H^*_d \simeq H^*_{d^c} \twoheadleftarrow \{d^c\text{- closed forms}\} \hookrightarrow \Omega^* $$
定理 (Muller) 一个 $k$-连通的紧流形, 若维数不超过 $4k+2$, 则是形式的.