Wiki. “拓扑 Hochschild 同调” [拓扑Hochschild同调]
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设 $R$ 为 E∞-环, $R \to\mathrm {THH}(R):= R^{\otimes S^1}$ 是 $R$ 到 $S^1$-作用的 E∞-环的万有态射, 也即 $R\colon *\to \mathsf {CAlg}(\mathsf {Sp})$ 沿 $*\to BS^1$ 的左 Kan 扩张.
由于 $S^1=*\sqcup_{*\sqcup *}*$, $\mathrm {THH}(R)$ 有如下具体表达式, $$ \mathrm {THH}(R) = R\otimes_{R\otimes R}R. $$
与 K-理论的关系
THH and TC are in practice computationally useful approximations to K