Wiki. “Hochschild (上)同调” [Hochschild(上)同调]
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Hochschild 上同调启发自代数拓扑.
定义
受代数拓扑中的单纯复形的启发, 我们定义如下概念.
定义. 预单纯模 (presimplicial module) 是指一串模 $C_n$ 以及一族态射 $d_i \colon C_n\to C_{n-1}$, 其中 $i=0,\cdots,n$, 且满足 $d_id_j = d_{j-1}d_i\,(0\leq i< j\leq n)$.
$d_i$ 是一个单纯形的第 $i$ 个面.
预单纯模的态射是与所有 $d_i$ 可交换的一族态射 $f_n\colon C_n \to C'_n$.
预单纯模的态射的同伦是一族态射 $h_i\colon C_n\to C'_{n+1}\,()$
定义 $d=\sum_{i} (-1)^i d_i$, 则 $d^2 = 0$; 由此可定义预单纯模的同调.
设 $k$ 为域, $R$ 为 $k$-代数, $M$ 为 $R$ 双模. 考虑一串模 $C_n(R,M):= M\otimes_k R^{\otimes n}$ 与态射 $d_i\colon M\otimes R^{n} \to M\otimes R^{n-1}$, 定义如下. $$ d_0\colon (m\otimes r_1\otimes \cdots \otimes r_n) \mapsto (m r_1\otimes r_2\otimes\cdots\otimes r_n), $$ $$ d_i\colon (m\otimes r_1\otimes \cdots \otimes r_n) \mapsto (m\otimes r_1\otimes\cdots\otimes r_ir_{i+1}\otimes\cdots\otimes r_n), $$ $$ d_n\colon (m\otimes r_1\otimes \cdots \otimes r_n) \mapsto (r_nm\otimes r_1\otimes\cdots\otimes r_{n-1}). $$
对于 $M=R$, 记 $C_n(R)=C_n(R,R)$. Hochschild 同调 $H_\bullet(R,M)$ 即是上述预单纯模的同调; 对于 $M=R$, 记 $HH_n(R) = H_n(R,R)$.
类似地定义 Hochschild 上同调 $H^\bullet (R,M)$ 为复形 $\operatorname{Hom}(R^{\otimes n},M)$ 的上同调, 其中 $\delta=\sum_i (-1)^i \delta_i$, $\delta_i$ 定义为 $$ (\delta_0 f)(r_1\otimes\cdots\otimes r_n) =r_1 f(r_2\otimes\cdots\otimes r_n), $$ $$ (\delta_i f) (r_1\otimes \cdots\otimes r_n) = f(r_1\otimes\cdots\otimes r_ir_{i+1}\otimes\cdots\otimes r_n), $$ $$ (\delta_n f)(r_1\otimes\cdots\otimes r_n) = f(r_1\otimes\cdots \otimes r_{n-1})r_n. $$ 对于 $M=R$, 记 $HH^n(R)=H^n(R,R)$.
性质
考虑 $R$ 的中心 $Z(R)$, 可以证明 $H_*(R,M)$ 上有 $Z(R)$-双模结构.