Wiki. “幂等完备化” [幂等完备化]

定义

对于范畴 $\mathcal C$, 若存在全忠实函子 $i\colon \mathcal C\to \widetilde {\mathcal C}$ 满足

• $\widetilde {\mathcal C}$ 为幂等完备范畴;
• $\widetilde {\mathcal C}$ 的对象均为 $\mathcal C$ 的对象的收缩;

则称之为 $\mathcal C$ 的幂等完备化, 或 Cauchy 完备化, 或 Karoubi 闭包.

构造

对于小范畴 $\mathcal C$, 定义 $\overline{\mathcal C}$ 为 $\widehat {\mathcal C}$ 中可表函子的收缩构成的全子范畴, 则米田嵌入 $\mathcal C\to \overline{\mathcal C}$ 为幂等完备化.

性质

设 $\mathcal C$ 为小范畴. 一个预层 $F\in\widehat {\mathcal C}$ 属于 $\overline{\mathcal C}$ 当且仅当 $\operatorname{Hom}_{\widehat {\mathcal C}}(F,-)$ 保持所有余极限; 此时称 $F$ 为小对象 (tiny object) 或称 $F$ 绝对可表现 (absolutely presentable).