Wiki. “尖点自守表示” [尖点自守表示]
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$\mathrm{GL}_n(\mathbb{A})$ 上的尖点自守函数 (cuspidal automorphic function) 是满足如下条件的函数 $\varphi \colon \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}) \to \overline{\mathbb{Q}_{\ell}}$:
- $\varphi$ 关于左 $\mathrm{GL}_n(F)$-作用不变;
- (局部常值?) $\varphi$ 关于 $\mathrm{GL}_n(\mathbb A)$ 的某个开子群的右作用不变;
- (中心特征标?) 存在 $a\in\mathbb A^\times$, 次数非零, 使得 $\varphi(ag) = \varphi(g)$ 对任意 $g\in\mathrm{GL}_n(\mathbb A)$ 成立;
- (尖点性) 记 $N_{n_1,n_2}$ 为分划 $n=n_1+n_2\,(n_1,n_2>0)$ 对应的抛物子群 $P_{n_1,n_2}$ 的幂幺根 (unipotent ratical), 则对任意 $g\in\mathrm{GL}_n(\mathbb A)$ 有 $$\int_{N_{n_1,n_2}(F) \backslash N_{n_1,n_2}(\mathbb A)}\varphi(ug)\,du=0.$$ 尖点自守函数的空间构成 $\mathrm{GL}_n(\mathbb A)$ 的表示, 其不可约分解的分量称为不可约尖点自守表示.