Wiki. “导出张量积” [导出张量积]

Wiki

张量积的导出函子, 又叫 $\operatorname{Tor}$ 函子.

几何上, 导出张量积对应的是导出概形的相交积.

例

对于 $A=B=\mathrm{pt}\hookrightarrow\mathbb {P}^1$, $$ \mathcal O_A\otimes^L \mathcal O_B \simeq\mathcal O_{\mathrm{pt}}\oplus\mathcal O_{\text{pt}}[1]. $$

对于嵌入 $i_A\colon A\to X$, $i_B\colon B\to X$, 设 $A\cap B=C$, 记 $C$ 到 $A,B$ 的嵌入为 $j_A\colon C\to A$, $j_B\colon C\to B$. 一般地, $\mathcal O_A\otimes^L\mathcal O_B$ 不同构于 $\mathcal O_C$, 而是 $\mathcal O_C$ 加上一些别的东西.

由投影公式, $$ \mathcal O_A\otimes^L\mathcal O_B\simeq i_{A,*}(\mathcal O_A\otimes^L Li_A^*i_{B,*}\mathcal O_B), $$ 因此我们关注 $Li_A^*i_{B,*}\mathcal O_B\in D(A)$. 但 $i_A$ 不平坦, 不能使用基变换. …