Wiki. “对称群的表示” [对称群的表示]

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对称群 $S_n$ 的共轭类对应 $n$ 的分划. Young 图表给出了 $S_n$ 的不可约复表示与 $n$ 的分划之间一种自然的对应.

考虑群代数 $\mathbb{C}[S_n]$, 以及 Young 图 $\lambda$ (事实上应该是 Young 表, 即填了数的 Young 图, 但不同的填数方法对下面的构造没有影响, 只差一个同构).

将 “对每一行对称化” 的操作视为元素 $p_\lambda^S \in \mathbb{C}[S_n]$, “对每一列反称化” 的操作视为元素 $p_\lambda^A\in\mathbb{C}[S_n]$. 定义 Young 对称化子 $$ p_\lambda = p_\lambda^A p_\lambda^S\in\mathbb{C}[S_n]. $$ 注意到 $V_\lambda = p_\lambda \mathbb{C}[S_n]$ 上有 $\mathbb{C}[S_n]$ 的右作用, 因而是 $S_n$ 的表示. 事实上, 它是 $S_n$ 的不可约表示, 且 $S_n$ 的每个不可约表示都具有这种形式.