Wiki. “Schur 函子” [Schur函子]

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Schur 函子是一系列函子 $S^\lambda\colon R\mathsf {-Mod}\to R\mathsf {-Mod}$, 它将 $R$ 模 $X$ 对应到其 $n$ 次张量积中 $S_n$ 作用下以一定规律 (即对称群的表示) 变换的子模. 例如对称幂 $\operatorname{Sym}^n X$ 和交错幂 $\wedge^n X$ 都是 Schur 函子.

定义

nLab 的定义: 具体版本

设 $X$ 是向量空间, $\lambda$ 是 Young 图(表).

考虑 $X^{\otimes n}$, 每个部分对应 Young 图的一个方块.

首先取出其中交换同一行的任何两部分都不变的子空间;

然后投影到其中交换同一列的任何两部分都变号的商空间;

所得的就是 $S^\lambda X$.

nLab 的定义: 抽象版本

使用群代数 $\mathbb{C}[S_n]$, 我们可以更抽象地给出 $S^\lambda$ 的定义.

我们可以将 “对每一行对称化” 的操作视为元素 $p_\lambda^S \in \mathbb{C}[S_n]$, “对每一列反称化” 的操作视为元素 $p_\lambda^A\in\mathbb{C}[S_n]$. 定义 Young 对称化子 $$ p_\lambda = p_\lambda^A p_\lambda^S\in\mathbb{C}[S_n], $$ 于是 $$ S^\lambda X = p_\lambda (X^{\otimes n}). $$ 注意 $p_\lambda^A$ 和 $p_\lambda^S$ 都是幂等算子, 但它们不交换. 令人惊讶的是, $p_\lambda$ 只差一个常数就是幂等算子.

进一步, 由于 $p_\lambda$ 作用在 $\mathbb{C}[S_n]$ 上给出 $S_n$ 的不可约表示 $V_\lambda$ (见对称群的表示), 故 Schur 函子可写为 $$ S^\lambda X = V_\lambda \otimes_{\mathbb{C}[S_n]} X^{\otimes n}. $$ 甚至我们可以对 $S_n$ 的任何表示 $V$ 定义函子 $S_V$.

Wikipedia 的定义

固定交换环 $R$, 设 $E$ 是 $R$-模, $\lambda$ 是正整数 $n$ 的划分, $T$ 是形状为 $\lambda$ 的一个 Young 图(表).

我们将用一个万有性质来定义 $R$-模 $S^\lambda E$. 考虑满足如下条件的多线性 $R$-模同态 $\varphi\colon E^n\to M$.

• 对于 $T$ 的每一列, $\varphi$ 都是交错的;
• 对于 $T$ 的每一列的子集, $\varphi$ 满足某种 “交换” 性质. (看不懂…)

例

对于 $\lambda = (n)$, 即又矮又扁的 Young 图, $S^\lambda E = \operatorname{Sym}^n E$;

对于 $\lambda = (1,\cdots,1)$, 即又高又细的 Young 图, $S^\lambda E = \wedge^n E$;