Wiki. “动量” [动量]

交换关系

动量与位置算符满足正则量子化确定的标准交换关系 $$ [\widehat X, \widehat P] = i \hbar. $$ 动量算符在坐标表象下表示为 $$ \widehat P = - i \hbar \frac{\partial}{\partial x} + g(x), $$ 其中 $g(x)$ 的自由选取与 $$ \widehat X e^{i \varphi(x)}\left| x \right> = x e^{i \varphi(x)} \left| x \right> $$ 中的相 (phase) $\varphi(x)$ 有关.

$$ \begin{aligned} \left[x e^{i\varphi(x)}, - i\hbar \frac{\partial}{\partial x} + g(x)\right]&= i\hbar \big(e^{i\varphi(x)} + i \varphi'(x) x e^{i\varphi(x)}\big) + \end{aligned} $$

Dirac 量子力学原理中的论述

假设一个量子系统具有经典类比, 正则坐标与正则动量为 $q_r,p_r\,(r=1,\cdots,n)$. 假设 $q_r$ 为可观测量, 具有连续特征值. (从物理意义来看, 这个假设是合理的.) 我们希望建立一种使得各个 $q$ 均为对角形的表象.

假设所有 $q$ 构成了一个完备对易集.

考虑 $n=1$ 的情形, 此时所有右矢均可写为 $\left|\psi(q)\right>$. 考虑线性算子 $$ \frac{d}{dq} \left|\psi(q)\right> = \left|\frac{d\psi(q)}{dq}\right>. $$ 由分部积分, 这个算子在左矢上的作用为 $$ \left< \phi(q)\right| \frac{d}{dq} $$