Wiki. “伪球” [伪球]

在极坐标下, 通常的球面具有 Riemann 度量 $$ ds^2 = R^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta \,d\phi^2). $$ 其标量曲率为 $1/R^2$.

将正弦函数改为双曲正弦, $$ ds^2 = R^2 (d\lambda ^2 + \sinh^2\lambda \,d\phi^2), $$ 所得的曲面称为伪球 (pseudosphere), 其标量曲率为 $K=-1/R^2$.

将坐标 $\lambda$ 替换为 $r = \dfrac{\sinh\lambda}{1+\cosh\lambda}$, 得到度量的另一表示形式 $$ ds^2 = \frac{4}{(1-r^2)^2}(dr^2+r^2 \, d\phi^2)\,(r<1) $$ 令 $(x,y)=(r\cos\phi,r\sin\phi)$ 得到直角坐标下的表示 $$ ds^2 = \frac{4}{(1-x^2-y^2)^2}(dx^2+dy^2)\,(x^2+y^2<1). $$ 这时伪球也叫 Poincaré 圆盘.

性质

伪球不能嵌入 $3$ 维欧氏空间.

Möbius 变换