Wiki. “Selberg 迹公式” [Selberg迹公式]

酉表示

常负曲率桌球

在常负曲率的空间中, 临近的测地线会指数级地相互远离.

常负曲率的紧曲面上粒子的运动显现出很强的混沌性. 因此常负曲率桌球是混沌动力学的研究对象.

Selberg 迹公式用周期轨表示了非欧桌球的态密度. 欧氏空间中有类似的 Gutzwiller 迹公式.

另外, 有论证表明 Riemann zeta 函数对应的假想的动力系统可实现为常负曲率的桌球.

考虑伪球的八边形镶嵌 (将八边形的对边视为同一条边).

Green 函数 $$ G(z,z',E) = \sum_{g} $$

将粒子通过各边的次序写成 0, 1, 2, 3 组成的序列, Bernoulli 性质是指任何序列都对应一条可能路径.

令 $T_i$ 为将八边形基本区域映射到第 $i$ 条边相邻的区域的变换, 那么群 $G$ 由 $T_1,T_2,T_3,T_4$ 及其逆生成.

粒子的周期轨对应群的本原元的共轭类 (本原元即不能表示为其它元素的幂的元素). $$ \begin{aligned} \bar\rho(k) &= \sum_n \delta(k-k_n) \\ &= \frac{A}{2\pi} \tanh \pi k + \frac{1}{2\pi} \sum_{[p]} \sum_{n\geq 1} \frac{l_p \cos (nkl_p)}{\sinh (nl_p/2)}. \end{aligned} $$