Wiki. “仿射代数群的表示” [仿射代数群的表示]

定义

固定一个域 $k$. 设 $G$ 是 $k$ 上的仿射代数群. 定义 $G$ 表示为 $k$-向量空间 $V$ 以及代数群的同态 $$ G \to \mathrm {GL}_V. $$

回忆 $\mathrm {GL}_V$ 是函子 $\mathsf {Alg}_k\to\mathsf {Grp}$, $\mathrm {GL}_V(A)\simeq\operatorname{Aut}_A(A\otimes V)$.

性质

与余模的关系

$G$ 的表示等同于 Hopf 代数 $\mathcal O_G$ 的余模.

由于 $G\simeq\operatorname{Spec}\mathcal O_G$, 群同态 $G\to\mathrm {GL}_V$ 给出 $\mathrm {GL}_V(\mathcal O_G)$ 的一个元素, 即 $\mathcal O_G\otimes V$ 的 $\mathcal O_G$-线性自同构, 即 $k$-线性映射 $$ V\to \mathcal O_G \otimes V. $$ 它给出 $V$ 的 $\mathcal O_G$-余模结构.

命题. 存在典范的范畴等价 $\mathsf {Rep}(G)\simeq \mathcal O_G\text{-comod}$.

与 Lie 代数表示的关系

$G$ 的 Lie 代数 $\mathfrak g$ 是 $G$ 在单位元 $e$ 处的切空间 $$ \mathfrak g =\operatorname{Lie}(G)= T_eG = \{\varphi\colon \operatorname{Spec}k[x]/(x^2)\to G \mid \varphi(0)=e\}. $$ (其中 $0$ 指的是 $x\mapsto 0$ 对应的映射 $\operatorname{Spec}k\to\operatorname{Spec}k[x]/(x^2)$.)

另外, 切空间 $T_eG$ 也是导子的空间 $\operatorname{Der}(\mathcal O_G,k_x)$, 其中 $k_x$ 是 $k$ 通过 “在单位元处取值” 的映射 $\mathcal O_G \to k$ 视为 $\mathcal O_G$-模.

$G$-表示 $G\to\mathrm {GL}_V$ 给出 Lie 代数同态 $$ \mathfrak g=\operatorname{Lie}(G)\to\operatorname{Lie}(\mathrm {GL}_V)\simeq \mathfrak {gl}(V). $$ 称这样给出的 $\mathfrak g$-表示是可积的. 不是所有 $\mathfrak g$-表示都可积.