Wiki. “von Neumann 代数” [vonNeumann代数]

定义

抽象定义

von Neumann 代数是有预对偶的 C-星代数.

具体定义

设 $H$ 为 ($\mathbb{C}$ 上的) Hilbert 空间, 记 $\mathcal B(H)$ 为 $H$ 上的有界算子的代数. 定义 $H$ 上的 von Neumann 代数为 $\mathcal B(H)$ 的子代数 $N$, 满足

• $N$ 关于运算 $*$ 封闭 (称 $N$ 为 $\mathcal B(H)$ 的 $*$-子代数);
• 在弱算子拓扑下是闭的.

其中, 弱算子拓扑是使得对任意 $x,y\in H$ 映射 $T\mapsto \langle Tx,y\rangle$ 都连续的最弱拓扑.

例

设 $G$ 是局部紧群. $G$ 作用在 $L^2(G)$ 上,