Wiki. “逗号范畴” [逗号范畴]

定义

设 $f\colon \mathsf C \to \mathsf E$, $g\colon \mathsf D \to \mathsf E$ 为函子. 定义逗号范畴 $(f/g)$ 为三元组 $(c,d,\alpha)$ 构成的范畴, 其中 $c,d$ 分别为 $\mathsf C,\mathsf D$ 的对象, $\alpha \colon f(c)\to g(d)$ 为 $\mathsf E$ 的态射; 态射 $(c_1,d_1,\alpha_1) \to (c_2,d_2,\alpha_2)$ 为态射 $(\beta\colon c_1\to c_2,\gamma\colon d_1\to d_2)$ 满足方形交换图.

逗号范畴这个名字是因为它曾经记为 $(f,g)$. 也有人使用 $(f\downarrow g)$.

例

俯范畴

若 $f$ 是 $\mathsf C$ 的恒等函子, $g\colon 1\to\mathsf C$ 是一个对象 $c$ 的嵌入, 那么 $(f/g)$ 是俯范畴 $\mathsf C/c$.

元素范畴