Wiki. “谐振子” [谐振子]

谐振子的 Hamilton 量为 $$ H = \frac{1}{2m}\widehat {P}^2 + \frac{1}{2} m \omega^2 \widehat {X}^2. $$

阶梯算子

考虑阶梯算子 (ladder operator) $$ a = \alpha \widehat {X} + i \beta \widehat {P},\quad a^\dagger = \alpha \widehat {X} - i \beta \widehat {P}, $$ 那么 $$ a a^\dagger = \alpha^2 \widehat {X}^2 + \beta^2 \widehat {P} ^2 + i \beta\alpha [\widehat P, \widehat X]. $$ 选取合适的常数 $\alpha,\beta$ 可使 $H = aa^{\dagger} - \frac{1}{2} \hbar$. 注意到 $$ [a,a^\dagger] = \omega\hbar. $$ 定义 $$ \widehat {a} = \frac{a}{\sqrt{\omega\hbar}},\quad \widehat {a}^\dagger = \frac{a^\dagger}{\sqrt{\omega\hbar}}, $$ 则有 $$ [\widehat a,\widehat {a}^\dagger] = 1,\quad H = \omega\hbar \big[ {a}^\dagger{a} + \frac{1}{2} \big]. $$ $$ H a \left| E\right> = (E-\omega \hbar) a \left| E\right> $$ $a$ 的作用是降低特征值, 而 $a^\dagger$ 则提升特征值.

为了避免负无穷的特征值, 必须存在一个基态 (ground state), 即能量最小的态 $\left| 0 \right>$ 被 $a$ 零化. 由 $a$ 对应的 ODE 可得这个基态的波函数由 Gauss 函数给出.

由基态反复应用 $a^\dagger$ 可得全部的谱.

我们除了 (偏离谐振子的) 小的修正以外, 不会什么别的东西.