Wiki. Möbius 反演 [范畴代数]

定义

固定一个环 $k$. 设 $\mathcal C$ 为严格 $1$-范畴, 满足如下有限性条件: 对任意态射 $f$, 至多存在有限组态射 $(g,h)$ 使得 $f=gh$. 那么 $\mathcal C$ 的态射集上的 (有限支集, 或者不要求有限支集) $k$ 值函数空间 $\operatorname{Fun}(\operatorname{Mor}(\mathcal C),k)$ 上有卷积 $$ (\varphi * \psi)(f) = \sum_{f=gh} \varphi(g) \psi(h). $$ 这样得到的代数称为范畴代数 $k\mathcal{C}$, 它是群代数以及 incidence algebra (参考 Andrew Kobin) 的推广.

用另一种视角, 有限支集的函数 $\operatorname{Mor}(\mathcal C) \to k$ 相当于以 $\operatorname{Mor}(\mathcal C)$ 为基的自由 $k$-模的元素. 此时卷积等同于 $$ \sum a_g g * \sum b_h h = \sum a_g b_h gh. $$ (其中若 $g,h$ 不能复合则 $gh=0$.)

性质

单位元

定义 $$ \delta(f) = \begin{cases} 1 & f=\mathrm{id}_c\\ 0 & \text{其它}, \end{cases} $$ 那么 $\delta$ 是卷积的单位元.

逆元

(todo: 何时可逆)