Wiki. “箭图” [箭图]

定义

箭图 (quiver) $Q$ 就是 (允许有多箭头或圈的) 有向图.

路代数

箭图 $Q$ 的路是一列箭头 $a_n\cdots a_1$, 使得当 $1\leq i <n$ 时, $a_i$ 的终点等于 $a_{i+1}$ 的起点. 另外, 我们规定每个顶点 $x$ 处有一个平凡道路 $e_x$.

固定域 $k$. 箭图 $Q$ 的路代数 (path algebra) $kQ$ 作为向量空间由所有的路生成; 其乘法由路的连接给出. 当 $Q$ 的顶点数有限时, 每个顶点处平凡道路的和对应 $kQ$ 的乘法单位元; 否则 $kQ$ 没有乘法单位元.

表示

箭图 $Q$ 的一个表示是如下信息: 对每个顶点 $x$ 指定一个 $k$-线性空间 $V_x$, 对每条边 $x\to y$ 指定一个线性映射 $V_x\to V_y$.

箭图 $Q$ 的表示等同于路代数 $kQ$ 上的模:

• 给定 $Q$ 的表示, 令 $V=\bigoplus_x V_x$ 得到 $kQ$-模.
• 给定 $kQ$-模 $V$, 令 $V_x=e_x V$ 得到 $Q$ 的表示.

例

Ext-箭图

设 $k$ 为代数闭域, $\Lambda$ 为有限维 $k$-代数. 定义其 Ext-箭图 $Q(\Lambda)$ 是以 $\Lambda$-单模的同构类为顶点, 每两点 $S_i,S_j$ 之间 $\dim_k\operatorname{Ext}_{\Lambda}^1 (S_i,S_j)$ 条边构成的箭图.