Wiki. “爆破” [爆破]

爆破是代数几何中的一种技巧, 直观上将子概形替换为所有接近它的一阶方向.

直观上, 爆破将一个点替换为了一个 $\mathbb{C}P^n$, 称为除子 $E$. $n=1$ 时的例外除子的基本事实是其自相交数等于 $$ [E]\cdot [E] = \left<c_1(\mathcal O(-1)),[\mathbb P^1]\right> = -1. $$

定义

复流形在一个点处的爆破可如下定义. 设 $U$ 是复流形 $M$ 在 $p$ 点附近的坐标邻域, 带有坐标 $z^1,\cdots,z^m$; 设 $t=(t^1,\cdots,t^m)$ 是 $\mathbb P^{m-1}$ 上的齐次坐标, 定义 $$ W= \{ (z,t) \in U \times \mathbb P^{m-1} \colon t^i z^j - t^j z^i = 0 \forall i,j \}, $$ 则 $W$ 同构于 $\mathbb P^{m-1}$ 上重言丛 $\mathcal O(-1)$ 零截面的一个邻域. 在投影 $\pi\colon W\to U$ 之下, 除 $p$ 之外的点只有一个原像, 而 $p$ 的原像 (即例外除子 $E$) 同构于 $\mathbb P^{m-1}$.

从 $M$ 去掉 $U$, 再粘上 $W$, 得到的流形 $\widetilde M$ 称为 $M$ 在 $p$ 处的爆破. (注意 $U\setminus\{p\}$ 同胚于 $W\setminus E$.)

性质

典范丛

命题. $K_{\widetilde M} = \pi^* K_M \otimes [E]^{m-1}$.

证明. 首先, 在例外除子之外, 两者明显是相同的. 下面我们证明在 $E$ 附近有 $$ K_{\widetilde M} \otimes \pi^* K_M^{-1} = [E]^{m-1}. $$

在 $E$ 处定义坐标 $$ u_1^i = \frac{t^i}{t^1}, $$