Wiki. “热核” [热核]

热核是热方程的基本解.

欧氏空间

最简单的热核是 $\mathbb{R}^d$ 上的热核 $$ K_t(x,y)= e^{-t\triangle}\delta(x,y)= \frac{1}{(4\pi t)^{d/2}}e^{-\|x-y\|^2/(4t)}. $$ 它满足方程 $$ \frac{d}{dt}K_t(x,y)=\triangle_x K_t(x,y), $$ 以及初始条件 $$ \lim_{t\to 0} K_t (x,y) \overset{\mathcal D'}{=}\delta(x-y). $$

一般的 Riemann 流形

一般的 (带边) Riemann 流形上的热核都存在, 且在 $t>0$ 光滑 (对于带边流形, 边界需要足够光滑; 当 $x,y$ 之一在边界上时有 $K_t(x,y)=0$).

特征值的形式展开

设 Dirichlet 问题 $$ \left\{ \begin{aligned} &\triangle\phi + \lambda\phi = 0\\ &\phi|_{\partial M}=0 \end{aligned} \right. $$ 的特征值 (由小到大排列) 与对应的特征函数为 $\lambda_n,\phi_n$, 其中 $\phi_n$ 为 $L^2(M)$ 中一组正交的单位向量, 且 $$ 0< \lambda_1< \lambda_2 \leq \lambda_3\leq\cdots,\quad \lambda_n\to\infty. $$ 此时热核具有形式展开 $$ K_t(x,y)=\sum_{n\geq 0} e^{-\lambda_n t} \phi_n(x) \phi_n(y). $$ (然而收敛性与正则性有些复杂.)

积分变换

热核有时代指其对应的积分变换 $$ e^{-t\triangle}\colon \phi(x) \mapsto \int K_t(x,y)\phi(y)\,dy. $$

热核的迹