Wiki. “正交分解系” [正交分解系]

定义

定义 (正交). 对于范畴 $\mathcal C$ 中的两个态射 $f\colon A\to B$, $g\colon X\to Y$, 若以下条件成立, 则称 $f$ 左正交于 $g$, $g$ 右正交于 $f$: 对任意交换图 $$ \begin{array} {cc} A & \to & X\\ f\!\!\downarrow &&\downarrow g\!\!\\ B & \to & Y, \end{array} $$ 存在唯一的态射 $B\to X$ 与上述态射交换. 在 $\infty$-范畴的语境下, 这是指 $\mathcal C_{A/,/Y}(B,X)$ 可缩.

定义 (正交分解系). 范畴 $\mathcal C$ 中的一个正交分解系 (orthogonal factorization system) 是指两族态射 $(L,R)$, 满足

• 两族态射都关于收缩封闭;
• $L$ 中的每个态射都左正交于 $R$ 中的每个态射;
• $\mathcal C$ 中的每个态射都是 $L$ 中态射与 $R$ 中态射的复合 (先 $L$ 后 $R$).

例

在集合范畴中, (满射, 单射) 是一个正交分解系. 这是 [(n-连通, n-截断) 分解]((n-连通,n-截断) 分解.md) $n=-1$ 的情形.