Wiki. “模态算子” [模态算子]

模态算子 (modal operator) $\square\varphi$ 是 $\varphi$ 的某种弱化.

定义

一个模态算子 $\square$ 是子对象分类器 $\Omega$ 到自身的映射, 使得对任意 $\varphi,\psi\in\Omega$,

• $\varphi\Rightarrow \square\varphi$;
• $\square\square\varphi \Rightarrow \square\varphi$;
• $\square(\varphi\wedge\psi) \Leftrightarrow \square\varphi\wedge\square\psi$.

例

代数几何中以下四个模态算子都很重要, 且各有几何意义.

• $\square\varphi := (\alpha\Rightarrow \varphi)$;
• $\square\varphi := (\alpha\vee \varphi)$;
• $\square\varphi := \neg\neg \varphi$ (双重否定模态);
• $\square\varphi := ((\varphi\Rightarrow \alpha)\Rightarrow \alpha)$.

性质

命题. 模态算子有单调性, 即若 $\varphi\Rightarrow \psi$, 则 $\square\varphi \Rightarrow \square\psi$.