Wiki. 极限 [极限]

定义

万有锥

设 $X \colon I \to \mathcal C$ 为函子, 记 $X(i)=X_i$. 定义 $X$ 上的锥为 $\mathcal C$ 的对象 $c$ (称为锥的顶点) 配备其到每个 $X_i$ 的态射 $c\to X_i$, 满足对 $I$ 中任意态射 $i\to j$, 有如下交换图. $$ \begin{array} {ccc} c & \to & X_i \\ & \searrow & \downarrow \\ && X_j \end{array} $$

换言之, 考虑常值函子 $\operatorname{const}c\colon I\to\mathcal C$, 那么 $X$ 上的锥是自然变换 $$ \operatorname{const} c \to X. $$

$X$ 的极限是万有的锥, 也即 $\mathcal C$ 的对象 $\operatorname{lim} X$, 带有一个锥 $$ \operatorname{const}\operatorname{lim} X \to X, $$ 使得 $X$ 上以任何对象 $c$ 为顶点的锥等同于 $c$ 到 $\operatorname{lim}X$ 的态射, 即有自然同构 $$ \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(c,\operatorname{lim}X)\simeq \operatorname{Hom}_{\mathsf{Fun}(I,\mathcal{C})}(\operatorname{const}c,X). $$

加权

图 $X$ 上以 $c$ 为顶点的锥也等同于函子 $\operatorname{Hom}(c,X(-))\colon I\to\mathsf{Set}$ 的一个整体元素, 也即常值函子 $1\colon I\to\mathsf{Set}$ 到该函子的自然变换: $$ \operatorname{Hom}_{\mathsf{Fun}(I,\mathcal{C})}(\operatorname{const}c,X) \simeq \operatorname{Hom}_{ \mathsf{Fun}(I,\mathsf{Set})} \big[ {1,\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(c,X(-))} \big] $$

我们可以将 $1\colon I\to\mathsf{Set}$ 替换为一般的函子 $w\colon I\to\mathsf{Set}$, 视为指标范畴 $I$ 上的 “权”, 以此定义加权极限.