Wiki. “截面曲率” [截面曲率]

定义

设 $M$ 为 Riemann 流形, $\Pi$ 是切空间 $T_pM$ 的二维子空间, 定义 $M$ 在 $\Pi$ 上的截面曲率 $$ K_{\Pi} = \frac{R(X,Y,Y,X)}{|X\wedge Y|^2}, $$ 其中 $X,Y$ 是 $\Pi$ 的基.

性质

截面曲率与小圆盘的面积有关. 具体地, 设 $\Pi$ 是 $T_p M$ 中的一个 $2$ 维子空间, $D_r$ 是 $\Pi$ 上以 $0$ 为中心, $r$ 为半径的圆盘. 记 $A_r$ 为 $D_r$ 在指数映射 (Riemann 流形) $\exp_p$ 下的像的面积. 那么 $$ A_r = \pi r^2 - \frac{1}{12} K(\Pi) \pi r^4 + o(r^4). $$

证明. 取 $p$ 处的一组法坐标 (normal coordinates) $x^1,\cdots,x^n$, 使得 $\Pi$ 对应前两个坐标 $x^1,x^2$ 的坐标平面. 考虑极坐标 $x^1 = \rho\cos\theta, x^2 = \rho\sin\theta$. 以下限定指标 $i,j$ 的取值范围为 $1,2$, 那么 $g_{ij}$ 表示一个二阶矩阵, 其行列式的平方根给出曲面的测度: $$ \begin{aligned} A_r &= \int_{0}^{2\pi}\int_0^r \sqrt{\det(g_{ij})}\rho\, d\rho d\theta\\ &= \int_{0}^{2\pi}\int_0^r \sqrt{\det\left(\delta_{ij}-\frac{1}{3}R_{iklj} x^k x^l + o(x^2)\right)}\rho\, d\rho d\theta\\ &= \int_{0}^{2\pi}\int_0^r \left(1- \sum_{i=1}^2 \frac{1}{6} R_{ikli} x^kx^l + o(x^2)\right)\rho\, d\rho d\theta\\ &= \int_{0}^{2\pi}\int_0^r \left(1- \frac{1}{6} \rho^2(R_{1221} \cos^2\theta + R_{2112}\sin^2\theta)+ o(\rho^2)\right)\rho\, d\rho d\theta\\ &= \int_0^{2\pi}\int_0^r\left(\rho-\frac{1}{6} \rho^3 K(\Pi)+ o(\rho^2)\right)d\rho d \theta\\ &= \pi r^2 - \frac{1}{12} K(\Pi) \pi r ^4 + o(r^4). \end{aligned} $$