Wiki. “微分分次 Lie 代数” [微分分次Lie代数]

微分分次 Lie 代数 (DGLA) $(L,[-,-],d)$ 由 $\mathbb{Z}$-分次 Lie 代数 $L=\bigoplus_{i\in\mathbb{Z}} L^i$, Lie 括号 $[-,-]\colon L^i\times L^j\to L^{i+j}$ 以及微分 $d\colon L^i \to L^{i+1}$ 构成, 满足

分次交换性 $$[b,a]=(-1)^{\bar a\bar b}[a,b],$$ Jacobi 恒等式 $$ [a,[b,c]] = [[a,b],c]+ (-1)^{\bar a \bar b}[b,[a,c]], $$ Leibniz 法则 $$ d[a,b]=[da,b]+(-1)^{\bar a}[a,db], $$ 以及 $dd=0$.

Jacobi 恒等式可理解为, 对于 $a\in L^i$, $\operatorname{ad}(a)$ 是 $i$ 阶导子.

例

对微分流形 $M$, Lie 代数 $\mathfrak g$, $M$ 上的 $\mathfrak g$-值微分形式 $\big(\Omega^\bullet(M,\mathfrak g),[-,-],d\big)$ 是微分分次 Lie 代数.