Wiki. “幂零根” [幂零根]

交换环 $R$ 的幂零根为 $$ I = \{x\in R\mid \exists n\in\mathbb{N}\,x^n=0\}. $$

性质

命题. $R$ 的幂零根是 $R$ 的所有素理想的交.

证明. 设 $a\in R\setminus I$, 我们证明存在素理想 $\mathfrak p$ 不包含 $a$. 因为 $a$ 不幂零, 所以环 $R[a^{-1}]$ 非零, 从而 $R[a^{-1}]$ 有素理想 $\mathfrak p$. 这个理想在 $R$ 上的拉回即为不包含 $a$ 的素理想.