Wiki. “尾” [尾]

对于函子 $T\colon C^{\text{op}}\times C \to X$ (想象为某种 Hom), $T$ 的尾 (end) 是一个对象 $e\in X$, 记作 $$ e = \int_{c\in C} T(c,c). $$

万有楔

尾可定义为万有楔 (wedge). 函子 $T\colon C^{\text{op}}\times C \to X$ 的一个楔是一个对象 $e\in X$, 带有态射 $w_c\colon e\to T(c,c)$, 对任意态射 $f\colon c\to c'$ 满足如下交换图. $$ \begin{array} {ccc} e & \overset{w_c}{\to} & T(c,c)\\ \downarrow && \downarrow \\ T(c',c') & \underset{T(f,1)}{\to} & T(c,c') \end{array} $$ 注. 我认为这样定义的楔即是自然变换 $w\colon e\to T(-,-)$, 其中 $e$ 是常值函子.

作为右伴随

极限是对角函子的右伴随: 对于函子 $J\to C$, 考虑对角函子 $\Delta\colon C\to C^J$, 则 $$ \operatorname{Hom}_{C^J}(\Delta -,-) \simeq \operatorname{Hom}_C(-,\lim_{\longleftarrow}-). $$ 类似地, 尾是如下定义的函子 $\operatorname{hom}\colon X\to \mathsf {Fun}(C^{\text{op}}\times C , X)$ 的右伴随. $$ \operatorname{hom}(x)(c,c')= \coprod_{\operatorname{hom}(c,c')}x = \operatorname{hom}(c,c')\otimes x. $$ $$ \operatorname{Hom}_{\mathsf {Fun}(C^{\text{op}}\times C, X)} (\operatorname{hom}-,-)\simeq \operatorname{Hom}_X(-,\operatorname{end}-) $$

例

对于 $T=\operatorname{Hom}(F(-),G(-))$, 其尾为自然变换的集合 $\operatorname{Nat}(F,G)$.