Wiki. “完备” [完备]

#代数

本文介绍的是环关于理想的完备性.

定义

环 $R$ 关于理想 $I$ 完备是指映射 $$ R \to \operatorname{colim}R/I^n $$ 为同构.

等价地, $R$ 在 $I$-进拓扑下构成完备拓扑空间.

分次环 $A$ 完备是指 $A$ 关于理想 $\bigoplus_{i>0}A_i$ 完备.

例

形式幂级数环 $R[x](x.md)$ 关于理想 $(x)$ 完备.

性质

可逆元

命题. 若 $R$ 关于 $I$ 完备, 元素 $u$ 模 $I$ 可逆, 则 $u$ 可逆.

证明. 由假设, 存在 $y\in R$ 使得 $a=1-uy \in I$. 由完备性, $$ u^{-1} = y (1+a+a^2+\cdots). $$