Wiki. “凝聚意象” [凝聚意象]

动机

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一类空间 $H$ 中的所谓凝聚 (cohesion) 的概念是描述空间 $X\in H$ 的点如何聚集在一起的方法, 类似于化学上液体聚成小滴.

一个例子是, 微分流形中的开球就是 “液滴” (droplet) 是开球.

William Lawvere 指出了如下公理.

  • 对 $H$ 中的每个空间 $X$ 指定了凝聚连通分支 (cohesively connected components) 的集合 $\Pi(X)$;
  • 每个集合 $S$ 都可以两种方式视为凝聚空间 (cohesive space):
    • 将 $S$ 每个点分别视为一个液滴, 称为离散凝聚空间 (discrete cohesive space);
    • 将 $S$ 的所有点共同视为一个液滴, 称为余离散凝聚空间 (codiscrete cohesive space).
  • 离散与余离散的凝聚空间与其他凝聚空间满足一些符合直觉的关系. 例如, 两个离散凝聚空间之间的映射就是底层集合的映射.

凝聚空间总是局部可缩 (局部 $\infty$-连通) 的.

有一个典范的几何态射, 即全局截面 $\Gamma\colon \mathcal E\to\mathsf {Set}$, 将空间 $X$ 对应到其点集 $\Gamma(X)$, 即 $X$ “遗忘所有凝聚”. 离散和余离散分别是 $\Gamma$ 的左右伴随: $$ \begin{aligned} \operatorname{Hom}(\operatorname{Disc}(X),Y)&=\operatorname{Hom}(X,\Gamma(Y));\\ \operatorname{Hom}(\Gamma(X),Y)&=\operatorname{Hom}(X,\operatorname{coDisc}(Y)). \end{aligned} $$

$\Pi_0\colon \mathcal E\to\mathsf {Set}$ 将空间 $X$ 对应到其连通分支的集合, 是 $\operatorname{Disc}$ 的左伴随: $$ \operatorname{Hom}(\Pi_0(X),Y)=\operatorname{Hom}(X,\operatorname{Disc}(Y)). $$

定义

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设 $\mathcal E$ 是基意象 $\mathcal S$ 上的意象, 即具有几何态射 $(f^*\dashv f_*)\colon \mathcal E \to\mathcal S$. 若如下条件成立, 则称其为凝聚意象:

  • 它是局部连通意象, 即进一步存在满足适当条件的左伴随 $f_! \dashv f^*$;
  • 它是连通意象, 即 $f_!$ 保持终对象, 或 $f^*$ 全忠实;
  • 它强连通, 即 $f_!$ 保持所有有限积;
  • 它是局部意象, 即进一步存在右伴随 $f_*\dashv f^!$;

总结起来, 我们有伴随四元组 $$ (f_!\dashv f^* \dashv f_* \dashv f^!)\colon \mathcal E \begin{array} {ccc} & \overset{f_!}{\longrightarrow} &\\ & \overset{f^*}{\longleftarrow} &\\ & \overset{f_*}{\longrightarrow} &\\ & \overset{f^!}{\longleftarrow} &\\ \end{array} \mathcal S. $$ 其几何解释为 $$ (\Pi_0 \dashv \operatorname{Disc} \dashv \Gamma \dashv \operatorname{coDisc})\colon \mathcal E \begin{array} {ccc} & \overset{\Pi_0}{\longrightarrow} &\\ & \overset{\operatorname{Disc}}{\longleftarrow} &\\ & \overset{\Gamma}{\longrightarrow} &\\ & \overset{\operatorname{coDisc}}{\longleftarrow} &\\ \end{array} \mathcal S. $$