Wiki. “全纯(余)切丛” [全纯(余)切丛]

本文中 $\mathbf i$ 表示虚数单位, $i$ 表示指标.

定义

命题. (线性代数) 设 $V$ 是 $\mathbb{R}$-向量空间, $J$ 是 $V$ 上的线性变换, $J^2=-\operatorname{id}$. 那么 $V\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$ 分解为 $J$ 的特征值 $\mathbf i,-\mathbf i$ 对应的特征子空间 $V',V''$ 的直和, 且有对应关系 $$ V\to V',\quad x\mapsto \frac{1}{2}(x-\mathbf iJx), $$ $$ V\to V'',\quad x\mapsto \frac{1}{2}(x+\mathbf i J x). $$

对于近复结构 $X$, 其复化切丛 $T_{\mathbb{C}}X:= TX\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$ 分解为全纯切丛 $T'X$ 与反全纯切丛 $T''X$ 之和, 复化余切丛 $T^*_\mathbb{C} X:= T^*X \otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$ 分解为全纯余切丛 ${T^*}'X$ 与反全纯余切丛 ${T^*}''X$ 之和. 进而有 $$ \wedge^n T_{\mathbb C}^*X = \bigoplus_{p+q=n} \wedge^p {T^*}'X\otimes \wedge^q {T^*}''X. $$ (注意这里的张量积, 外积与直和都是 $\mathbb C$-向量空间的操作, 可以检查一下复维数: $\binom{2n}{n}=\sum_{p+q=n}\binom{n}{p}\binom{n}{q}$.)

称 $\wedge^p {T^*}'X\otimes \wedge^q {T^*}''X$ 的截面为 $(p,q)$-形式.

使用复坐标 $z^i=x^i+ \mathbf i y^i$ 可表示这些空间的 $\mathbb{C}$-基:

• 全纯切空间 $T'X$ : $\displaystyle\frac{\partial}{\partial z^i}=\frac{\partial}{\partial x^i}- \mathbf i \frac{\partial}{\partial y^i}$ (注意减号);
• 全纯余切空间 ${T^*}'X$ : $dz^i = dx^i + \mathbf i dy^i$;
• 反全纯切空间 $T''X$ : $\displaystyle\frac{\partial}{\partial \bar z^i}=\frac{\partial}{\partial x^i}+\mathbf i\frac{\partial}{\partial y^i}$;
• 反全纯余切空间 ${T^*}''X$ : $d\bar z^i = dx^i - \mathbf idy^i$.