Wiki. “δ-环” [δ-环]

固定一个素数 $p$. 环 $A$ 上的 $\delta$-环结构是指集合映射 $\delta\colon A\to A$, 满足

• $\delta(1)=0$;
• $\delta(xy)=x^p\delta(y)+y^p\delta(x)+p\delta(x)\delta(y)$;
• $\delta(x+y)=\delta(x)+\delta(y)+\dfrac{x^p+y^p-(x+y)^p}{p}$.

这样的映射 $\delta$ 也称为 $p$-导子 (derivation).

性质

设 $(A,\delta)$ 为 $\delta$-环, 则 $$ \phi(x) = x^p + p\delta(x) $$ 为环同态, 且构成 $A/pA$ 上的 Frobenius 自同态.

遗忘函子 $\mathsf {Ring}_\delta \to \mathsf {Ring}$ 同时有左右伴随.

例

$\mathbb{Z}$ 上有唯一的 $\delta$-环结构: $$ \delta(x) = \frac{x-x^p}{p}. $$