Wiki. “Ricci 恒等式” [Ricci恒等式]

在 Riemann 流形上, (使用 Futaki 记号) $$ \nabla_i \nabla_j X^k - \nabla_j \nabla_i X^k = {{R_{ij}}^k}_{\ell} X^\ell, $$ $$ \nabla_i \nabla_j \alpha_k - \nabla_j \nabla_i \alpha_k = - {{R_{ij}}^\ell}_k \alpha_\ell, $$ $$ \nabla_i \nabla_j {T^k}_\ell - \nabla_j \nabla_i {T^k}_\ell = {{R_{ij}}^k}_p {T^p}_\ell - {{R_{ij}}^p}_\ell {T^k}_p, $$ 依次类推.