Wiki. “Lie 导数” [Lie导数]

性质

$$ \iota_{[X,Y]} = \mathcal L_X \iota_Y - \iota_Y \mathcal L_X $$ 证明. 对于 $1$ 形式 $\omega$, $$ (\mathcal L_X\iota_Y - \iota_Y\mathcal L_X)(\omega)=X\omega(Y)-\iota_Y(\iota_X d + d \iota_X)(\omega)=X\omega(Y)-d\omega(X,Y)-Y\omega(X), $$ $$ \iota_{[X,Y]}(\omega)=\omega([X,Y]), $$ 结论成立. 注意到两边都是导子, 故结论对所有形式成立.