Wiki. “Killing 向量场” [Killing向量场]

定义

在 Riemann 流形 $(M,g)$ 上, 若向量场 $X$ 满足 $$ \mathcal L_X g = 0, $$ 则称 $X$ 为 Killing 向量场.

性质

$X$ 是 Killing 向量场等价于对任意向量场 $Y,Z$, $$ g(\nabla_Y X, Z) + g(Y, \nabla_Z X) = 0; $$ 写成坐标形式即 $$ \nabla_i X^k g_{kj} + \nabla_j X^k g_{ki} = 0. $$ 等价地, $$ \nabla_i X_j + \nabla_j X_i = 0. $$