Wiki. Kirillov–Kostant–Souriau Poisson 结构 [KKSPoisson结构]

对于 (有限维) Lie 代数 $\mathfrak{g}$, 其对称代数 $\operatorname{Sym}\mathfrak{g}$ (即 $\mathfrak{g}^*$ 上的多项式函数代数) 之上有一个 Poisson 结构 $$ \{f,g\}(\xi) = \langle \xi, [d_\xi f,d_\xi g]\rangle, $$ 其中 $d_\xi f$ 是多项式 $f$ 在 $\xi\in\mathfrak{g}^*$ 处的微分, 视为 $T_\xi^*\mathfrak{g}^* \simeq \mathfrak{g}$ 的元素. 这个 Poisson 结构称为 Kirillov–Kostant–Souriau Poisson 结构.

一种更简洁的描述方式如下. Lie 代数 $\mathfrak{g}$ 的元素 $x$ 也等同于 $\mathfrak{g}^*$ 上的线性函数, 此时有 $$ \{x,y\} = [x,y]\, (x,y\in\mathfrak{g}). $$ 由此可得任何两个多项式的 Poisson 括号.