Wiki. “Deligne–Lusztig 理论” [Deligne–Lusztig理论]

Deligne–Lusztig 理论研究有限域上约化群的表示. 其主要方法是考虑有限域的代数闭包上的光滑代数簇的 $\ell$-进平展上同调, 由此得到所谓的虚表示 (virtual representations). 该理论体现了代数几何与表示论之间的联系.

$\mathrm{GL}_2(\mathbb F_p)$ 有如下三类表示:

• 主系列 (principal series), 由分裂环面 (split torus) 经过 Borel 子群诱导;
• Steinberg 表示, 来自 $\mathrm{GL}_2(\mathbb F_p)$ 在 $\mathbb P^1(\mathbb F_p)$ 上的作用;
• 尖点表示, 又称离散系列 (discrete series) 表示, 对应于非分裂环面 (non-split torus) 的特征.

其中最神秘的是尖点表示. Drinfeld 意识到这类表示来自 $(xy^p-x^py)^{p-1}=1$ 的一阶 $\ell$-进上同调. Deligne–Lusztig 理论将这一现象推广到一般的有限域上的约化群.